Analisi Matematica I

Il corso intende offrire allo studente la possibilita’ di apprendere gli strumenti classici dell’analisi matematica quali ad esempio: limiti, derivate, integrali ed equazioni differenzili, ed imparare ad utilizzarli con padronanza e competenza nell’ ambito delle scienze fisiche ed ingegneristiche.

– Numeri reali – Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà. – Potenze, radici e logaritmi. – Funzioni reali di una variabile – Dominio, immagine e grafico – Funzioni monotone e funzioni invertibili – Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche Successioni – Limite di una successione: definizione e proprietà – Successioni monotone – Successioni infinitesime, infinite e confronti – Forme indeterminate, limiti notevoli – Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass – Il principio di induzione Limiti di funzioni reali – Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale – Limite di una funzione: definizione e proprietà – Infinitesimi, infiniti e confronti – Forme indeterminate, limiti notevoli Continuità – Funzioni continue – Punti di discontinuità – Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass – Teorema degli zeri – Continuità della funzione inversa – Uniforme continuità Calcolo differenziale per funzioni di una variabile – Derivabilità e retta tangente, – Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione – Estremi locali e derivate – Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy – Monotonia e derivate – Teorema di de L’Hopital e applicazioni – Derivate successive; concavità e convessita – Studio del grafico di funzioni – Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti Integrali – Definizione di integrale di Riemann, proprietà – Classi di funzioni integrabili – Il teorema fondamentale del calcolo integrale – Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione – Integrazione delle funzioni razionali – Integrabilità in senso improprio – Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze – Assoluta integrabilità in senso improprio Equazioni differenziali ordinarie – Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e problema di Cauchy – Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee – Applicazione all’equazione dell’oscillatore armonico Numeri complessi – Definizione – Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari – Radici n-sime complesse Calcolo differenziale per funzioni di più variabili – Topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, compatti – Limiti e continuità in Rn – Derivate parziali e direzionali – Differenziabilità e piano tangente, gradiente – Teorema del differenziale totale

Gabriella Tarantello