Project Description

Obiettivi

1) apprendere le nozioni di base relative all’algebra lineare, agli spazi affini e euclidei,leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti; 2)stimolare capacita’ di apprendere,di applicare conoscenza,comprensione e autonomia di giudizio;in particolare applicare le nozioni di algebra lineare per risolvere problemi geometrici; 3) tramite le abilita’ comunicative acquisite durante il corso lo student sara’ in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi e di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati di base relativi a spazi vettoriali, spazi affini e euclidei.

Programma

Nozioni preliminari: insiemi numerici, sistemi di riferimento affini e cartesiani sulla retta nel piano e nello spazio, orientazioni della retta, del piano e dello spazio, angoli nel piano e nello spazio. Sistemi lineari: risoluzione dei sistemi lineari a scala, il metodo di eliminazione di Gauss e la risoluzione dei sistemi lineari compatibili. Algebra delle matrici: matrici invertibili. Spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Lo spazio vettoriale dei segmenti orientati centrati nell’origine. L’algoritmo di Gauss per selezionare una base da un sistema di generatori. Sottospazi e sottovarietà affini. Intersezione e somma di sottospazi: somme dirette e formula di Grassmann. Determinante; prime applicazioni geometriche della nozione di determinante. Digressione sulle permutazioni. Proprietà che definiscono la funzione determinante e applicazioni al calcolo della matrice inversa, teorema di Cramer. Autovalori e autovettori. Trasformazioni lineari: matrice associata ad una trasformazione lineare, trasformazioni lineari iniettive, suriettive e biiettive. Cambiamenti di base per uno spazio vettoriale di dimensione finita. Problema della diagonalizzazione delle trasformazioni lineari. Condizioni analitiche di appartenenza e parallelismo. Equazioni cartesiane e parametriche delle sottovarietà affini. Geometria Affine.Lo spazio affine e lo spazio dei vettori geometrici.Equazioni cartesiane di rette e piani nello spazio affine ordinario. Parametri direttori di una retta e parametri di giacitura di un piano.Condizioni analitiche di appartenenza e parallelismo. La geometria analitica del piano e dello spazio affine. Fasci e stelle di rette e piani. Risoluzione geometrica di alcuni problemi. Spazi vettoriali metrici. Prodotto scalare nello spazio dei vettori geometrici. Prodotto scalare canonico. Matrici ortogonali e cambiamenti di base ortonormali. Proiezioni ortogonali. Il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi ortogonali e complementi ortogonali. Il prodotto hermitiano canonico. Matrici unitarie e cambiamenti di base ortonormali. Geometria Euclidea. Espressioni analitiche per misure di distanze e di angoli. Condizioni di ortogonalità. Rappresentazione analitica di alcune curve del piano definite facendo uso di distanze e angoli. Aree e volumi. Circonferenze e sfere. Rette e piani tangenti. Affinità e isometrie: cambiamenti di coordinate cartesiane affini nello spazio e nel piano; cambiamenti di coordinate cartesiane ortogonali monometriche nello spazio e nel piano. Matrici hermitiane e unitarie. Teorema di diagonalizzazione e teorema spettrale per le matrici hermitiane. Matrici unitarie.Forme quadratiche reali in una e due variabili. Problemi generali sulle forme quadratiche. Criteri perchè una matrice simmetrica reale sia definita (semidefinita) positiva. Segnatura di una forma quadratica. Invarianti per congruenza. Forma canonica affine e metrica di una forma quadratica.Riduzione delle coniche a forma canonica.Cenni sulla classificazione delle quadriche. Testi base: M.Artale, Appunti del corso di Geometria e Algebra A.A. 2015-2016; Appunti ed esercizi del corso (disponibili presso la libreria Univesitalia). Testi consigliati: S.Abeasis, Algebra lineare e Geometria, Zanichelli.
MODALITÀ D’ESAME: L’esame consiste di una prova scritta obbligatoria e di una prova orale. La prova scritta, della durata di tre ore, consiste nella risoluzione di esercizi alcuni dei quali potranno essere di carattere teorico. Ad ogni studente, all’inizio della prova scritta, saranno dati dei fogli su cui sono scritti i quesiti. Alla fine della prova lo studente sovra’ consegnare esclusivamente i suddetti fogli con le risposte da lui date e senza alcun altro segno che la sua firma e matricola apposte in testa a ciascun foglio. Durante la prova e’consentito consultare testi e/o appunti, ma severamente vietato collaborare con altri candidati, pena l’esclusionedallaprova.La prova orale consisterà in domande volte a confermare il voto dello scritto.Nel caso lo studente intenda incrementare tale voto o aspirare alla lode,l’interrogazione sarà più approfondita, e conseguentemente la valutazione finale dipenderà non solo dall’esito dello scritto ma anche dalle risposte fornite all’orale. Periodicamente verranno forniti e svolti esercizi ad esemplificazione di quelli della prova di esame.

Docente

0 crediti
90 ore di lezione
0° Anno
Laurea
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